Game Theory for Valentine: Battle of the Sexes

หลังเลิกงานในวันหนึ่ง Jim และ Kim ต่างคนต่างออกจากออฟฟิศพร้อมกัน แต่ดันเกิดปัญหาเล็ก ๆ ที่สร้างสถานการณ์เชิงกลยุทธ์ขึ้นมาโดยไม่รู้ตัว โทรศัพท์มือถือของทั้งคู่แบตหมด พวกเขาไม่สามารถติดต่อกันเพื่อยืนยันแผนได้

Jim อยากไปดูการแข่งขันรักบี้ ส่วน Kim อยากไปเต้น แต่ทั้งสองคนให้ความสำคัญกับการได้ใช้เวลาร่วมกันมากกว่าการได้ทำกิจกรรมที่ตัวเองชอบตามลำพัง หากพวกเขาไปคนละที่ พวกเขาจะไม่ได้เจอกันเลยในคืนนั้น

เมื่อไม่มีทางสื่อสาร พวกเขาจึงต้องตัดสินใจโดยคาดเดาว่าอีกฝ่ายจะเลือกอะไร และหวังว่าจะไปถึงสถานที่เดียวกัน

นี่คือจุดตั้งต้นของเกมที่เรียกว่า Battle of the Sexes ซึ่งเป็นตัวอย่างคลาสสิกของปัญหาการประสานงานใน Game Theory

Battle of the Sexes คืออะไร

Battle of the Sexes คือหนึ่งในเกมคลาสสิกของ Game Theory ที่ดูเหมือนเรียบง่าย แต่สะท้อนโครงสร้างของการประสานงานในโลกจริงได้ลึกมาก

ลองนึกภาพสถานการณ์ง่าย ๆ Jim อยากไปดูรักบี้ Kim อยากไปเต้น ทั้งสองคนมีความชอบต่างกัน แต่มีสิ่งหนึ่งที่สำคัญกว่า นั่นคือ "การได้ไปด้วยกัน" มีค่ามากกว่าการแยกกันไปคนละที่

นี่คือหัวใจของเกมนี้

Payoff matrix

เพื่อวิเคราะห์ เราสร้าง payoff matrix ขึ้นมา โดย payoff หมายถึงค่าความพอใจหรือผลตอบแทนเชิงอรรถประโยชน์ของแต่ละคน ตัวเลขไม่ใช่เงิน แต่เป็นการจัดลำดับว่าอะไรดีกว่าอะไร

กำหนดให้ผลลัพธ์เป็นดังนี้

ถ้าทั้งคู่ไปเต้น — Jim ได้ 1, Kim ได้ 2

ถ้าทั้งคู่ไปรักบี้ — Jim ได้ 2, Kim ได้ 1

ถ้าไปคนละที่ — ทั้งคู่ได้ 0

ตัวเลขนี้สะท้อนลำดับความชอบ สำหรับ Jim: รักบี้ด้วยกัน ดีที่สุด ได้ 2; เต้นด้วยกัน ดีรองลงมา ได้ 1; ไปคนละที่ แย่สุด ได้ 0 สำหรับ Kim: เต้นด้วยกัน ดีที่สุด ได้ 2; รักบี้ด้วยกัน ดีรองลงมา ได้ 1; ไปคนละที่ แย่สุด ได้ 0

Nash equilibrium แบบ pure strategy

จาก matrix นี้ เราจะพบว่าเกมมี Nash equilibrium แบบ pure strategy สองจุด หนึ่ง ทั้งคู่ไปเต้น สอง ทั้งคู่ไปรักบี้

ทำไมถึงเรียกว่า Nash equilibrium เพราะไม่มีใครมีแรงจูงใจจะเปลี่ยนกลยุทธ์ฝ่ายเดียว ถ้าทั้งคู่ไปเต้น แล้ว Jim เปลี่ยนใจไปดูรักบี้คนเดียว เขาจะได้ 0 แทนที่จะได้ 1 ดังนั้นเขาไม่อยากเปลี่ยน ในทางกลับกัน ถ้าทั้งคู่ไปรักบี้ แล้ว Kim เปลี่ยนใจไปเต้นคนเดียว เธอจะได้ 0 แทนที่จะได้ 1 เธอก็ไม่อยากเปลี่ยน นี่คือความเสถียรของ Nash equilibrium

Coordination problem และ mixed strategy

ปัญหาคือ เกมนี้มี equilibrium สองจุด แล้วจะเลือกอันไหน นี่คือ coordination problem แบบคลาสสิก

Game Theory บอกว่า ถ้าไม่มีการสื่อสารหรือกลไกประสานงาน ผู้เล่นอาจใช้ mixed strategy คือการสุ่มเลือกแต่ละทางเลือกด้วยความน่าจะเป็นบางค่า เมื่อคำนวณตามหลัก expected payoff จะได้ว่า Jim ควรเลือกเต้นด้วยความน่าจะเป็นหนึ่งส่วนสาม และเลือกรักบี้สองส่วนสาม Kim ควรเลือกเต้นสองส่วนสาม และเลือกรักบี้หนึ่งส่วนสาม

ค่าความน่าจะเป็นเหล่านี้ไม่ได้เกิดจากความชอบส่วนตัว แต่เกิดจากเงื่อนไขที่ทำให้อีกฝ่าย "เฉย" ระหว่างสองตัวเลือก กล่าวคือ expected payoff ของทั้งสองทางเลือกต้องเท่ากัน

เมื่อคำนวณ payoff ที่คาดหวังใน mixed equilibrium จะได้ว่า Jim ได้สองส่วนสาม Kim ได้สองส่วนสาม ถ้าสังเกตให้ดี ตัวเลขนี้ต่ำกว่าหนึ่ง ซึ่งเป็น payoff ขั้นต่ำของ pure equilibrium แปลว่า ถ้าทั้งสองคนสุ่มเพราะประสานงานกันไม่ได้ ทั้งคู่จะได้ผลตอบแทนต่ำกว่าการตกลงกันให้ชัดเจนว่าจะไปทางใดทางหนึ่ง

Mixed equilibrium เป็นจุดสมดุลเชิงคณิตศาสตร์ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดที่ให้ payoff สูงสุด Pure equilibrium ในเกมลักษณะนี้ให้ผลตอบแทนดีกว่า เพียงแต่ต้องอาศัยการประสานงาน

สะท้อนโลกจริง

เกมนี้จึงสะท้อนโลกจริงอย่างชัดเจน การเลือกมาตรฐานเทคโนโลยี การกำหนดสกุลเงิน การนัดหมาย การเจรจาทางธุรกิจ แม้แต่การกำหนดนโยบายสาธารณะ หลายสถานการณ์ไม่ใช่การแข่งขันแบบศูนย์รวมศูนย์ แต่เป็นปัญหาของการตกลงกันว่าจะไปทางเดียวกันหรือไม่

ถ้าตกลงกันได้ ทุกฝ่ายได้ payoff สูงกว่า ถ้าตกลงกันไม่ได้ และต่างคนต่างสุ่ม ความไม่แน่นอนทำให้ผลตอบแทนเฉลี่ยลดลง

และนี่คือพลังของ payoff analysis ที่เวลาคนถามผมว่าจะนำทฤษฎีเกมไปใช้ในการเทรดได้อย่างไร ผมมักจะตอบว่าคุณต้องวาด payoff ออกมาได้ก่อน Game Theory ไม่ได้แค่บอกว่าใครจะชนะหรือใครจะเลือกอะไร มันอธิบายโครงสร้างแรงจูงใจที่กำหนดผลลัพธ์ และทำให้เราเห็นว่าบางครั้ง ความล้มเหลวในการประสานงาน มีต้นทุนเชิงคณิตศาสตร์ที่วัดได้

Battle of the Sexes จึงไม่ใช่แค่เกมของคนสองคน มันคือโมเดลพื้นฐานของสังคม เศรษฐกิจ และตลาด ที่ชี้ให้เห็นว่า การสื่อสารและการประสานงานมีค่าเชิง payoff จริง ๆ ไม่ใช่แค่เรื่องอารมณ์ และนี่คือเหตุผลที่ Game Theory ยังเป็นเครื่องมือสำคัญในการเข้าใจโลกของการตัดสินใจเชิงกลยุทธ์จนถึงวันนี้

แปลและสรุปเองจากหนังสือในคอมเมนท์ ปล. ในหนังสือ payoff ละเอียดมาก ใครสนใจหามาอ่านได้ครับ แต่ไม่มีพูดถึงเรื่องเทรดนะครับ